PROPORCIONALIDAD

TEMA 02: PROPORCIONALIDAD

Teorema de Tales:

Si dos líneas coplanarias (que están en el mismo plano) son cortadas por un haz de rectas paralelas entre sí y también coplanarias, los segmentos determinados en ambas rectas son proporcionales.
THALES-THEOREM
Usamos el teorema de Tales para dividir segmentos en partes iguales o proporcionales.

Teorema de la altura:

En Geometría, decimos que dos figuras son “semejantes” cuando sus ángulos son iguales y, por lo tanto, sus lados son proporcionales entre sí.
El teorema de la altura describe la relación entre la altura sobre la hipotenusa y los dos segmentos en que ésta queda dividida por dicha altura. En un triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que la hipotenusa queda dividida por dicha altura.
SIMILAR-TRIANGLES

Proporción áurea:

Aquí podéis ver un documental muy interesante acerca de la importancia de la proporción áurea:

De forma simple, la Proporción Aurea establece que lo pequeño es a lo grande como lo grande es al todo. Habitualmente esto se aplica a las proporciones entre segmentos.  Dos cantidades están en Proporción Áurea si su relación es la misma que la relación de su suma a la mayor de las dos cantidades. El número de oro es un número irracional que se representa mediante la letra griega  \varphi en honor del escultor griego Phidias.

Su expresión algebráica, para cantidades a y b, siendo a > b

Golden ratio

Donde la letra griega phi  (\varphi) representa la proporción áurea. Su valor es:

En éste tema vamos a aprender a obtenerla gráficamente:

Para saber más….

Tales de Mileto

Thales de Mileto (630 a.c al 545 a.c.) (También se puede escribir Tales de Mileto) fue un matemático griego considerado también como el primer filósofo occidental.

Fue el primero de los Siete Sabios de Grecia y uno de los grandes matemáticos de su época. Una de estas aportaciones a la geometría es el llamado “Teorema de Thales“.

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FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONS

UNIT 03: FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONS

Thales’ theorem:

If two lines which intersect each other and are in the same plane are cut by parallel lines, segments determined in one line are proportional to the segments determined in the other line.
THALES-THEOREM
We use the Thales’ theorem to divide segments into equal or proportional parts.

To learn more….

Thales of Miletus

There is considerable agreement that Thales was born in Miletus in Greek Ionia in the mid 620s BCE and died in about 546 BCE, but even those dates are indefinite. Greek philosopher who is considered the founder of Greek science, mathematics, and philosophy. He visited Egypt and probably Babylon, bringing back knowledge of astronomy and geometry. He invented deductive mathematics. To him is attributed Thales’ theorem. It is also attributed to Thales the prediction of a Solar Eclipse and more theorems.

FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONS

UNIT 02: FUNDAMENTAL CONSTRUCTIONS

Thales’ theorem:

If two lines which intersect each other and are in the same plane are cut by parallel lines, segments determined in one line are proportional to the segments determined in the other line.
THALES-THEOREM
We use the Thales theorem to divide segments into equal or proportional parts.

Right triangle altitude theorem:

In Geometry, we say that two or more figures are “similar” when all of their angles are equal so their sides are proportional.
The right triangle altitude theorem or geometric mean theorem is a result in elementary geometry that describes a relation between the altitude on the hypotenuse in a right triangle and the two line segments it creates on the hypotenuse. It states that in a right triangle, the altitude on the hypotenuse is the geometric mean to the two segments into which the hypotenuse is divided.
SIMILAR-TRIANGLES

Golden ratio:

Here you can see a video created by KhanAcademy to learn more about Golden Ratio

In mathematics and the arts, two quantities are in the golden ratio if their ratio is the same as the ratio of their sum to their maximum. The golden ratio is also called the golden section (Latin: sectio aurea) or golden mean. The golden number is an irrational number and it is represented by the Greek letter \varphi in honor to Greek sculptor Phidias.

Expressed algebraically, for quantities a and b with a > b

Golden ratio

Where the Greek letter  phi (\varphi) represents the golden ratio. Its value is:

In this unit you will learn how to get this ratio graphically:

To learn more….

Thales of Miletus

There is considerable agreement that Thales was born in Miletus in Greek Ionia in the mid 620s BCE and died in about 546 BCE, but even those dates are indefinite. Greek philosopher who is considered the founder of Greek science, mathematics, and philosophy. He visited Egypt and probably Babylon, bringing back knowledge of astronomy and geometry. He invented deductive mathematics. To him is attributed Thales’ theorem. It is also attributed to Thales the prediction of a Solar Eclipse and more theorems.

TEMA 2: CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

TEMA 2: CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

TEOREMA DE TALES
Si dos líneas coplanarias (que están en el mismo plano) son cortadas por un haz de rectas paralelas entre sí y también coplanarias, los segmentos determinados en ambas rectas son proporcionales.
THALES-THEOREM

LÁMINA 2: CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES

1. RECTAS PARALELAS EQUIDISTANTES A UNA DADA

PASOS:

  1. Dibujamos dos rectas perpendiculares a la recta dada por dos puntos M y N cualquiera.
  2. Llevamos la longitud del segmento AB sobre esas perpendiculares, obteniendo los puntos A, B, C y D.
  3. Unimos A con B y C con D y obtenemos las rectas paralelas a r: s y t.

2. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A TRES SEGMENTOS DADOS

Usamos el teorema de Tales para dividir segmentos en partes proporcionales:

PASOS:

  1. Dibujamos un segmento AB.
  2. Trazamos una recta oblicua a éste con origen en A.
  3. Llevamos las distancias de los segmentos CD, DE y EF sobre la recta oblicua.
  4. Unimos el punto F con el extremo del segmento B.
  5. Trazamos rectas paralelas a FB desde E y D.
  6. Según el Teorema de Tales los segmentos C’D’, D’E’ y E’B’ son proporcionales a CD, DE y EF respectivamente.

3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN SIETE (N) PARTES IGUALES

Usamos el teorema de Tales para dividir segmentos en partes iguales:

PASOS:

  1. Dibujamos un segmento AB.
  2. Trazamos una recta oblicua a éste con origen en A.
  3. Sobre la recta oblicua llevamos con el compás, o medimos con la regla si disponemos de ella, una dimensión conocida tantas veces como en partes queramos dividir el segmento.
  4. 4. Unimos el último punto (en este caso el 7) con el extremo B del segmento.
  5. Trazamos paralelas a esa recta por el resto de los puntos (1, 2, 3, 4, 5, 6).
  6. El segmento quedará dividido en tantas partes iguales como hayamos determinado.