TANGENCIAS III

TANGENCIAS III

Para la realización de los ejercicios propuestos en ésta práctica debemos repasar conceptos como el de Lugar Geométrico y el de bisectriz.
La correcta resolución de estos ejercicios depende en gran medida de la exactitud y limpieza con que los realicemos, así que tratad de realizarlos lo más cuidadosamente posible.

1. DIBUJA TRES CIRCUNFERENCIAS INSCRITAS EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO DE LADO 7 cm. TANGENTES ENTRE SI.

TRIÁNGULO
PASOS:

  1. Dibujamos un triángulo equilátero de lado 7 cm.
  2. Calculamos su incentro, como queremos dibujar circunferencias tangentes a los lados del triángulo, sabemos que sus centros estarán situados en las bisectrices de los ángulos del triángulo.
  3. Por ser un triángulo equilátero, las bisectrices de sus ángulos coinciden con sus alturas. Las circunferencias interiores tendrán sus puntos de tangencia situados en esas alturas.
  4. Hallamos la bisectriz del ángulo formado entre una de las alturas y uno de los lados del triángulo.
  5. Donde la bisectriz se nos corte con la bisectriz del ángulo contiguo, obtenemos el primero de los centros de las circunferencias solución O1.
  6. Los otros dos centros de circunferencia, O2 y O3, estarán a la misma distancia del incentro que O1, con lo que si trazamos una circunferencia de radio IO1, donde nos corte a las bisectrices de los ángulos del triángulo obtenemos O2 y O3.
  7. Además sabemos que si dos circunferencias son tangentes en un punto, necesariamente ese punto estará en el segmento que une sus centros, así que si unimos O1, O2 y O3, obtendremos los puntos de tangencia T de las tres circunferencias, por lo que sabremos sus radios y podremos dibujarlas.

2. DIBUJA CUATRO CIRCUNFERENCIAS INSCRITAS EN UN CUADRADO DE LADO 7 cm. TANGENTES ENTRE SI Y A LAS DIAGONALES DEL CUADRADO.

CUADRADO
PASOS:

  1. Dibujamos un cuadrado de lado 7 cm.
  2. Dibujamos sus diagonales, a las que deberán ser tangentes las circunferencias solución.
  3. Dibujamos las bisectrices de los ángulos formados por las diagonales, por ser un cuadrado, coinciden con los segmentos resultantes de hacer perpendiculares a los lados que pasen por el punto de corte de las diagonales, en estas bisectrices estarán los centros de las circunferencias solución..
  4. Hallamos la bisectriz del ángulo formado entre una diagonal y uno de los lados, donde se nos corte con la bisectriz realizada anteriormente obtendremos O1.
  5. O2, O3 y O4, estarán a la misma distancia del punto de corte de las diagonales que O1.
  6. Además sabemos que si dos circunferencias son tangentes en un punto, necesariamente ese punto estará en el segmento que une sus centros, así que si unimos O1, O2, O3 y O4, obtendremos los puntos de tangencia T de las cuatro circunferencias, por lo que sabremos sus radios y podremos dibujarlas.

3. DIBUJA CUATRO CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO 3.5 cm. TANGENTES ENTRE SI.

CIRCUNFERENCIA
PASOS:

  1. Dibujamos una circunferencia de radio 3.5 cm.
  2. Dibujamos dos diámetros perpendiculares entre sí, dividiendo la circunferencia en cuatro partes iguales, donde situaremos los centros de las circunferencias solución.
  3. Para que las circunferencias sean tangentes entre sí, debemos hacer la bisectriz de uno de los cuadrantes de circunferencia, haremos que sean tangentes a esa recta, reduciendo el ejercicio a uno muy parecido al del cuadrado.
  4. Las circunferencioas solución O1, O2, O3 y O4, serán tangentes a la circunferencia en los puntos de corte de los diámetros con esta, y como sabemos que una recta tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio en ese punto, dibujaremos una recta (t) perpendicular al diámetro.
  5. Hacemos la bisectriz de t con la bisectriz del cuadrante y donde corte al diámetro obtenemos O1.
  6. O2, O3 y O4, estarán a la misma distancia del centro de la circunferencia (O) que O1.
  7. Para calcular los puntos de tangencia, lo único que tenemos que hacer es unir O1, O2, O3 Y O4.

4. DIBUJA CINCO CIRCUNFERENCIAS INSCRITAS EN UN PENTÁGONO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO 3.5 cm. TANGENTES ENTRE SI.

PENTÁGONO
PASOS:

  1. Dibujamos un pentágono regular inscrito en la circunferencia de radio 3.5.
  2. Dibujamos sus alturas, segmentos perpendiculares al lado opuesto que pasan por los vértices del pentágono.
  3. Hacemos la bisectriz de una de esas alturas con el lado del pentágono obteniendo O1.
  4. O2, O3, O4 y O5, estarán a la misma distancia del punto de corte de las alturas, y centro de la circunferencia, que O1.
  5. Para calcular los puntos de tangencia, lo único que tenemos que hacer es unir O1, O2, O3, O4 Y O5.

Solución de la lámina completa:

4-ESO-TANGENCIAS-04

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