TANGENCIAS I

TANGENCIAS I

La palabra tangente proviene del latín “tangens” que significa “que toca”, esto es, que tiene un punto en común sin cortarse.

1. RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UNO DE SUS PUNTOS.

Para que una recta sea tangente a una circunferencia en uno de sus puntos ha de ser perpendicular al radio de circunferencia que pasa por ese punto. Tangente Recta-Circunferencia PASOS:

  1. Dibujamos la circunferencia a la que vamos a trazar la tangente y llamamos a su centro O.
  2. Marcamos un punto P en la circunferencia por el que vamos a trazar la tangente.
  3. Dibujamos el radio O P.
  4. Dibujamos la perpendicular al segmento OP que pase por P.
  5. Esa recta “r” será nuestra tangente buscada.

2. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA QUE PASEN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA MISMA.

Al intentar trazar las rectas tangentes a una circunferencia que pasen por un punto P exterior a la misma, observamos que el problema tiene dos posibles soluciones. La solución de este problema se fundamenta en dos cuestiones:

  • El hecho de que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular al radio en ese punto, por lo que los triángulos POT1 y POT2 son dos triángulos rectángulos.
  • El concepto de arco capaz de un segmento para un ángulo determinado, que es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los que vemos el segmento con ese ángulo.

En nuestro caso queremos ver el segmento OP con un ángulo de 90º, para ello, dibujamos la circunferencia de la que OP es un diámetro (un ángulo central de 180º) por lo tanto, los ángulos inscritos que dibujemos que abarquen ese ángulo central serán de 90º. Arco capaz del ángulo de 90º tangente-02 PASOS:

  1. Dibujamos una circunferencia y llamamos a su centro O.
  2. Dibujamos un punto P, cualquiera, exterior a la circunferencia, desde el que haremos las tangentes.
  3. Unimos O con P.
  4. Hacemos la mediatriz del segmento OP.
  5. Con centro en el punto medio del segmento OP, dibujamos la circunferencia que pasa por O y P.
  6. Donde esa circunferencia nos corte a la circunferencia inicial obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2.
  7. Uniendo P con T1 y T2 obtenemos las dos tangentes buscadas.

3. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A TRES RECTAS QUE SE CORTAN.

Las circunferencias pedidas son las exinscritas al triángulo que forman las tres rectas. Sus centros son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo. Este sería el tercero de los diez problemas de Apolonio, que tendría una solución más, que sería la circunferencia inscrita al triángulo formado por las tres rectas. Para resolver este ejercicio debemos recordar el concepto de bisectriz. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo, y por tanto, como vimos al construir el incentro de un triángulo, es el centro de todas las circunferencias tangentes a los lados del ángulo. tangente-03 PASOS:

  1. Dibujamos las tres rectas a las que vamos a calcular las circunferencias tangentes.
  2. Para calcular el centro O1, hacemos las dos bisectrices de los ángulos que forman las tres rectas y donde se corten obtenemos O1.
  3. Una vez obtenido O1, para calcular los puntos de tangencia, hacemos las perpendiculares a las rectas obteniendo T1 y T2.
  4. Para calcular el centro O2, sólo tenemos que hacer una bisectriz, puesto que la otra es la misma que la del ángulo opuesto ya calculada previamente.
  5. Una vez obtenido el centro O2, calculamos sus puntos de tangencia T3 y T4, haciendo las perpendiculares a las rectas que pasen por O2.
  6. Para obtener el centro O3, sólo tenemos que prolongar las bisectrices ya dibujadas.
  7. Una vez obtenido el centro O3, calculamos sus puntos de tangencia T5 y T6, haciendo las perpendiculares a las rectas que pasen por O3.

4. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA DADA EN UN PUNTO DE ESTA “T” Y QUE PASE POR UN PUNTO TAMBIÉN DADO “P”.

Para calcular la solución de este ejercicio, debemos recordar el concepto de mediatriz, que es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento del que es mediatriz, y por tanto es el centro de todas las circunferencias que pasan por los dos extremos del segmento. tangente-04 PASOS:

  1. Unimos el punto P, dado, con el punto T, también dado.
  2. Hacemos la mediatriz del segmento PT, y por tanto es el centro de todas las circunferencias que pasan por los puntos P y T .
  3. También sabemos, que si una circunferencia es tangente a una recta en un punto, esa recta es perpendicular al radio de circunferencia que pasa por ese punto, por tanto, de todos los puntos de la mediatriz, sólo nos servirá como centro de la circunferencia buscada, áquel que esté en la perpendicular a la recta dada que pase por T.
  4. Hacemos la perpendicular a la recta que pase por T, donde nos corte a la mediatriz del segmento PT, obtenemos el punto O, centro de la circunferencia buscada.

5. RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS.

tangente-05 PASOS:

  1. Dibujamos dos circunferencias O1 y O2, a las que vamos a realizar las tangentes.
  2. Unimos sus centros O1 y O2 y hacemos la mediatriz del segmento O1O2, para dibujar una circunferencia que pase por O1 y O2.
  3. Hacemos una circunferencia de centro O2, en nuestro caso la circunferencia mayor, y radio la suma de los radios de las dos circunferencias.
  4. Esta circunferencia nos corta a la dibujada previamente que pasa por O1 y O2 en dos puntos, uniendo esos dos puntos con O2, obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2.
  5. Para calcular los puntos de tangencia T3 y T4, hacemos paralelas a los radios O2T1 y O2T2 que pasen por O1.
  6. Uniendo T1 con T4 y T2 con T3 obtenemos las tangentes buscadas.

6. RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS.

tangente-06 PASOS:

  1. Dibujamos dos circunferencias O1 y O2, a las que vamos a realizar las tangentes.
  2. Unimos sus centros O1 y O2 y hacemos la mediatriz del segmento O1O2, para dibujar una circunferencia que pase por O1 y O2.
  3. Hacemos una circunferencia de centro O2, en nuestro caso la circunferencia mayor, y radio la resta de los radios de las dos circunferencias.
  4. Esta circunferencia nos corta a la dibujada previamente que pasa por O1 y O2 en dos puntos, uniendo esos dos puntos con O2, obtenemos los puntos de tangencia T1 y T2.
  5. Para calcular los puntos de tangencia T3 y T4, hacemos paralelas a los radios O2T1 y O2T2 que pasen por O1.
  6. Uniendo T1 con T3 y T2 con T4 obtenemos las tangentes buscadas.

Solución de la lámina completa:

LAMINA-11

3 thoughts on “TANGENCIAS I

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