TEMA 5: PUNTOS DE INTERÉS (NOTABLES) DE UN TRIÁNGULO

TEMA 5: PUNTOS DE INTERÉS (NOTABLES) DE UN TRIÁNGULO

1. CIRCUNCENTRO

El Circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo.
Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.
Se le denomina gráficamente con la letra O.

  • En un triángulo acutángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está dentro del triángulo.
  • En un triángulo obtusángulo, el centro de la circunferencia circunscrita está fuera del triángulo.
  • En un triángulo rectángulo, el centro de la circunferencia circunscrita es el punto medio de la hipotenusa.


PASOS:

  1. Hacemos la mediatriz del lado AB.
  2. Hacemos la mediatriz del lado AC.
  3. Hacemos la mediatriz del lado BC.
  4. Las tres mediatrices se cortan en un punto, al que llamamos O, el Circuncentro.
  5. Al ser las mediatrices el centro de todas las circunferencias que pasan por los extremos del segmento del que son mediatriz, el punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados del triángulo (Circuncentro) es el centro de la circunferencia que pasa por los extremos de los tres segmentos de los que hemos calculado las mediatrices, esto es, los vértices del triángulo.
  6. Si hacemos una circunferencia de centro en el Circuncentro y abertura de compás hasta uno de los vértices del triángulo pasará necesariamente por los otros dos. Esta es la circunferencia circunscrita del triángulo.

2. INCENTRO

El Incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, aquella que es tangente a los tres lados del triángulo.
Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.
Se le denomina gráficamente con la letra I.

PASOS:

  1. Dibujamos la bisectriz del ángulo A.
  2. Dibujamos la bisectriz del ángulo B.
  3. Dibujamos la bisectriz del ángulo C.
  4. Las tres bisectrices se cortan en un punto, al que llamamos I, el Incentro.
  5. Al ser las bisectrices el centro de todas las circunferencias tangententes a los lados del ángulo del cual son bisectriz, el punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos del triángulo (Incentro) es el centro de la circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, la circunferencia inscrita.
  6. Para obtener el radio de esa circunferencia, debemos trazar una perpendicular a uno de los lados desde el Incentro, obteniendo así uno de los puntos de tangencia.

3. BARICENTRO

El Baricentro o Centroide es el punto que se encuentra en la intersección de las tres medianas del triángulo, y equivale al centro de gravedad del triángulo.
Se le denomina gráficamente con la letra G.
Las medianas de un triángulo son, cada uno de los segmentos que unen cada vértice del triángulo con el punto medio de su lado opuesto.

PASOS:

  1. Calculamos el punto medio del lado AC y unimos ese punto con B.
  2. Calculamos el punto medio del lado AB y unimos ese punto con C.
  3. Calculamos el punto medio del lado BC y unimos ese punto con A.
  4. Las tres medianas se cortan en un punto, al que llamamos G, el Baricentro.

4. ORTOCENTRO

El Ortocentro es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas del triángulo.
Se llama altura de un triángulo al segmento que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto (de 90º). Todos los triángulos tienen tres alturas.
Se le denomina gráficamente con la letra H.

  • En un triángulo acutángulo, el ortocentro está dentro del triángulo.
  • En un triángulo obtusángulo, el ortocentro está fuera del triángulo.
  • En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto del triángulo.

Una vez dibujadas las alturas, si el triángulo es acutángulo se puede dibujar el triángulo órtico del triángulo inicial.
El triángulo órtico de un triángulo acutángulo es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de éste, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados. Es el triángulo de perímetro mínimo que se puede inscribir en un triángulo acutángulo.
El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo órtico.

PASOS:

  1. Dibujo la perpendicular al lado AB que pasa por el vértice C.
  2. Dibujo la perpendicular al lado BC que pasa por el vértice A.
  3. Dibujo la perpendicular al lado AC que pasa por el vértice B.
  4. Las tres alturas se cortan en un punto, al que llamamos H, el Ortocentro.
  5. Uniendo los pies de las tres alturas obtenemos el triángulo órtico, cuyo Incentro es el Ortocentro del triángulo inicial.
  6. Para dibujar la circunferencia inscrita del triángulo órtico, debemos calcular un punto de tangencia, como realizamos en el ejercicio del Incentro.

Solución de la lámina completa:

Curiosidades:

El ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo se encuentran en una recta, la Recta de Euler. Se llama así en honor al matemático suizo Leonard Euler, quien  lo descubrió a mediados del siglo XVIII.

La naturaleza de algunos específicamente centrado mas allá de el universo a través de sus más sencillos descubrimientos es tal que uno bien puede pensar en el fantasma de Euclides diciendo «Pero ¿cómo no se me ocurrió?»  (Harold Scott MacDonald Coxeter)

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